»Die schönen Kurven der Herren Bézier und De Casteljau«

Was du hier siehst sind so genannte Bezierkurven. Benannt sind sie nach dem französischen Mathematiker und Ingenieur Pierre Bézier. Auch ein zweiter französischer Mathematiker hat mit der Geschichte dieser Kurven zu tun: Paul de Casteljau. Für die Automobilindustrie entwickelten beide ein Verfahren um schöne, windschnittige Karosserien zu formen.
Gar nicht so einfach so ein schickes Auto zu zeichnen, probier du mal!
Okay, zurück zu den Kurven. Um Schiffen eine geschwungene Form zu geben haben Menschen früher ein Holzbrett gebogen. Für eine große Fabrik ist das aber zu umständlich und die Roboter in der Fabrik könnten wohl auch nichts mit dem Brett anfangen. Deswegen haben die beiden Ingenieure überlegt wie sie schöne Kurven als Zahlen darstellen können.

Um zu verstehen wie das funktioniert, fangen wir ganz einfach an. Du kannst in diesen Bereich drei Punkte malen. Wenn du nur zuschauen willst: auch kein Problem. Eins, zwei, drei. Jetzt verbinden wir den ersten mit dem zweiten, und den zweiten mit dem drittenPunkt. Dann halbieren wir die Strecken, und jetzt nochmal jeweils die Hälfte und nochmal. Jetzt haben wir auf jeder Strecke acht Abschnitte. Wir könnten die Linien auch zum Beispiel in zehn Teile unterteilen, aber das ist auf dem Papier ohne Messen und Rechnerei etwas schwieriger. Jetzt ziehen wir von dem ersten Punkt hier zu dem ersten Punkt hier eine Linie. Und verbinden die zweiten Punkte, die dritten Punkte und so weiter, bis alle acht Punkte hier mit den jeweiligen Punkten hier verbunden sind. Durch die vielen Linien sehen wir schon etwas kurviges angedeutet. Aber ganz fertig sind wir noch nicht. Das Auto hätte jetzt wohl so eine Form. Auf dem Papier würde es etwas unübersichtlich, aber wenn ich hier jede der neuen Linien wieder in acht Abschnitte unterteile, und auf der ersten Linie den ersten Punkt markiere, auf der zweiten den zweiten Punkt, auf der dritten den dritten Punkt und so weiter, dann sieht es am Ende so aus. Verbinden wir die roten Punkte, ist die Kurve zwar immer noch eckig, aber wenn wir das ganze van Anfang an nicht nur in acht, sondern in achtzig, hundert oder gar tausend Schritte unterteilen, dann wird es schon eine runde Sache.
Ganz schön viel Arbeit! Ist das gute alte Holzbrett nicht doch einfacher? Für die Handarbeit sicher, aber da Roboter und Computer super schnell darin sind immer den gleichen Ablauf - einen Algorithmus – durchzuführen ist ein solches Verfahren genau das richtige für die Maschinelle Produktion und das Computer unterstütze Design.
Dafür müssen alle Punkte in einem Koordinatensystem durch Zahlen dargestellt werden. Dann kann die Rechnerei losgehen. Wenn du möchtest kannst du die Ausgangspunkte verschieben um etwas mit der Form zu experimentieren oder die Anzahl der Unterteilungsschritte verstellen um die Genauigkeit zu erhöhen oder zu verringern.

Jetzt hast du einen ersten Eindruck wie der Algorithmus des Herrn de Casteljaufunktioniert. Es ist eine Schritt-für-Schritt Anleitung wie wir, ein Roboter oder ein Computer, aus zum Beispiel drei Punkten eine Kurve zeichnen können. Diese Kurve startet am ersten Punktund endet am dritten Punkt. Der zweite Punkt ist ein Hilfs- oder Kontrollpunkt. Kurven die durch drei Punkte repräsentiert werden sind quadratische Bézier-Kurven.
Für komplexere Kurven funktioniert der De-Casteljau-Algorithmus auch mit vier Ausgangspunkten. Anfangs- und Endpunkt sowie zwei Kontrollpunkte. So können wir eine kubische Bézier-Kurve konstruieren.

Möchtest du vier Punkte in diesen Bereich zeichnen? Diese vier Punkte verbunden ergeben ein Kontroll-Viereck. Verwandt, aber nicht zu verwechseln mit dem Kontrollfreak! Allgemein spricht man von einem Kontroll-Polygon. Damit ist dann auch das Kontroll-Dreieck von vorhin gemeint.Die Strecken unterteilen wir wieder in gleich viele Abschnitte. Im ersten Schritt entstehen nun zwei neue Linien. Einmal zwischen diesen beiden Linien, und die zweite hier. Nachdem wir diese neuen Linien wieder unterteilt haben, müssen wir in einem zweiten Schritt eine dritte Verbindungslinie zeichnen. Unterteilen, und nun liegt unser erster Kurvenpunkt auf der ersten Unterteilung der dritten Verbindungslinie. Das ganze wiederholt für alle Unterteilungsschritte ergibt dieses Bild. Anzahl der Unterteilungen erhöhtund die Kurve sieht perfekt aus. Wenn ich das mit so vielen Unterteilungen Punkt für Punkt zeichne, und das ganze im Zeitraffer abspiele, dann sieht es aus als ob die Kurve langsam entsteht und immer länger wird. Durch eine solche Animation wird die Funktion des De-Casteljau-Agorithmus auch oft gezeigt. Die Linien werden nicht mehr unterteilt sondern die Zwischenpunkte wandern auf den Linien. Sie starten gleichzeitig am Anfang der Linien und kommen im selben Moment am Endpunkt an. Der Punkt auf der letzten Unterteilungslinie zeichnet die Kurve.

Ganz unterschiedliche Kurven können so entehen. Spitze Kurven, runde Kurven, flache Kurven, s-förmige Kurven, oder Schleifen. Auch die Hand zeichnet hier im Grunde lauter solche Kurven, sie ist von einem Programmcode gesteuert. Dein Browser muss im Hintergrund die ganze Zeit den De-Casteljau-Algorithmus berechnen und Bezierkurven auf den Bildschirm zeichnen. Richtig zusammengesetzt ergeben sie dann eine Zeichnung, die Bauanleitung für eine Autoform, eine Wegbeschreibung, den Umriss eines Buchstabens und vieles mehr.
Bézier-Kurven sind heute nicht mehr wegzudenken und jetzt hast du auch gesehen warum sie entwickelt wurden und wie sie funktionieren.